正定二次型的判别及应用开题报告

1. 研究目的与意义

研究背景：二次型的系统研究是从18世纪开始的，它起源于对二次曲线和二次曲面的分类问题的讨论，将二次曲线和二次曲面的方程变形，选有主轴方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状，这个问题是在18世纪引进的。柯西在其著作中给出结论：当方程是标准型时，二次曲面用二次型的符号来进行分类。然而，那时并不太清楚，在化简成标准型时，为何总是得到同样数目的正项和负项。西尔维斯特回答了这个问题，他给出了n个变数的二次型的惯性定律，但没有证明。这个定律后被雅克比重新发现和证明。1801年，高斯在《算术研究》中引进了二次型的正定、负定、半正定和半负定等术语。二次型化简的进一步研究涉及二次型火行列式的特征方程的概念。特征方程的概念隐含的出现在欧拉的著作中，拉格朗日在其关于线性微分方程组的制作中首先明确的给出了这个概念。而三个变数的二次型的特征值的实性则是由阿歇特、蒙日和泊松建立的。现在二次型常常出现在许多实际应用和理论研究中，有很大的实际使用价值。它不仅在数学的许多分支中用到，而且在物理学中也会经常用到。但在大学的学习中，只是简单地介绍了实二次型及其矩阵表示、正定二次型的定义和简单性质，对他们的性质研究很少。教材中有关二次型正定性的内容不尽完善，而它的应用却越来越广泛，许多问题的解决都可归纳为二次型问题。因此有关正定二次型的研究和学习就显得尤为重要。

目的及意义：通过进一步了解正定二次型的相关知识，加深对正定二次型定义的理解，从而更好地进行对正定二次型性质的讨论；通过讨论加深对正定二次型的理解，并运用正定二次型解决实际的数学问题，提升自己的学习及知识运用能力；通过撰写论文了解自己知识运用、理解方面的不足，查漏补缺，为之后的工作生涯作铺垫。

2. 研究内容和预期目标

研究内容：正定二次型在研究极值问题方面、解决多项式的根和在物理方面的应用等有重要意义。本论文将在理解二次型的定义的前提下，讨论正定二次型的性质并运用正定二次型解决多变量实函数求极值的问题。

预期目标：对正定二次型性质的运用，如：实二次型的正定性证明不等式；多变量的目标函数的极值问题；具有约束方程的最优化问题。

3. 研究的方法与步骤

研究方法：本论文采用文献研究法，通过查阅收集大量有关资料，参考学习相关期刊，论文，关注论题相关文章的发布，从而了解正定二次型的最新知识，并加以整理，为撰写论文作准备。

步骤：通过收集相关文献并进行学习理解对正定二次型的定义作归纳总结；在参考有关期刊、论文的同时对正定二次型的性质作一定的分析讨论；在了解最新的正定二次型的相关研究后运用正定二次型解决一些实际的数学问题。

4. 参考文献

参考文献：

[1] 丘维声. 高等代数（第三版）[m]. 高等教育出版社, 2015-04.

[2] 赖红. 线性代数及其应用[m]. 科学出版社,2020.

5. 计划与进度安排

进度安排：3月4日 ~ 4月10日，根据开题报告撰写论文。每周向指导老师汇报、交流论文进展情况；

4月10日 ~4月21日，毕业论文中期检查，向指导老师汇报论文进展情况和遇到的困难；

5月12日之前，完成论文的初稿；