数项级数求和方法探析开题报告

1. 研究目的与意义

（一）研究背景

数项级数（一般指无穷级数）出现的很早，往往都是出现在对个别问题的研究中。到了中世纪，无穷级数引起了当时哲学家与数学家的兴趣。17 世纪微积分诞生之后，无穷级数作为一种工具在数学的前进中起到了巨大的推动作用。为了把早期的微积分方法应用于函数，常常需要把这些函数表示为可以逐项微分或积分的无穷级数，泰勒定理为此做出了贡献。将函数展成无穷级数之后，人们又在考虑这个问题的逆问题，即级数的求和问题。

现今数学理论的学习与研究中，数项級数的研究是不可或缺的一部分，是研究函数性质进行数值计算的有力工具。数项级数求和更是一块重要的内容，也是较难解决的问题。因为除等比级数、等差级数等一些常见的特珠级数外，一般项级数都难以求出它的部分和，所以数项级数求和的方法比较灵活，技巧性也比较强，它促使数学家在数学发展上进行大胆的尝试，虽然产生许多悖论，但使数学产生了很多分支，丰富了数学理论的发展。当今许多学者对级数问题与级数求和问题都做出了深入的考察与进一步的探究，创造性地提出了许多級数求和的策略与方法。但级数求和问题千变万化，始终没有固定的一般化解法，是数学计算中较难的部分，因此对级数求和方法的研究仍需不断改良与创新。本课题将基于前人的研究，对数项级数求和的方法与技巧进行深度的剖析、例证、分类、归纳、推广，使级数求和的方法与技巧更具系统性与完备性，提高解决级数求和问题的准确率和效率。

2. 研究内容和预期目标

（一）主要研究内容

级数的求和问题是级数理论中比较重要的部分，由于其方法繁多，技巧性强，难以掌握其规律，因此是高等数学中的一个难点，本文将从级数理论的研究背景入手，对数项级数的求和问题从方法上进行分类、讨论与总结，具体包括如下四个部分：

第一部分 级数研究背景介绍；

3. 研究的方法与步骤

（一）研究方法

本课题通过大量查阅有关文献资料，研究已有的成果，对已有的结果进行系统的归纳总结并加以深入研究和探索。

（二）研究步骤

4. 参考文献

[1] 华东师范大学数学系，数学分析（第五版）[m].高等教育出版社，2019.

[2] 钟玉泉，复变函数论（第五版）[m].高等教育出版社，2021.

[3] 龚昇.简明微积分[m].高等教育出版社,2006-4.

5. 计划与进度安排

1. 2024年12月16日-2024年2月24日，确定选题，收集整理文献资料；

2. 2024年2月20日~2024年2月24日，指导老师下达毕业论文任务书，向学生布置论文工作要求；根据任务书要求初步理解毕业论文的目的、要求和任务，准备相关的参考资料；

3. 2月20日 ~ 3月3日，完成开题报告，开题报告应按学校规定要求填写。开题报告应包括研究的背景、目的与意义，研究的内容和预期目标、研究方法及步骤，主要参考文献、进度安排等内容，指导老师审核开题报告等材料（开题报告起止日期2024年2月20日-2024年3月3日）；